有关导数的证明题

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野彦陆玑
2020-02-01 · TA获得超过3789个赞
知道大有可为答主
回答量:3115
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(1)
若g(a)g(b)=0.
则g(a)=0
或g(b)=0,
如果
g(a)=0,
则a至少是f(x)的二重根(不合),
同理g(b)=0
也不合。
若g(a)g(b)<0,
则g(a)与g(b)
异号,
由连续函数根的存在性定理知,多项式g(x)在开区间(a,b)内至少有一个根c,
于是
f(x)在a,b
之间还有另一个根c(不合,因为a,b是相邻的根)
综上,只能有
g(a)g(b)>0
(2)由于
f(a)=f(b)
f(x)是个多项式,因此其导数
f'(x)
在区间[a,b]上连续,由洛尔定理知在开区间(a,b)内存在一个点c,
使f'(c)=0
证毕。
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