Question

已知3阶矩阵a的特征值为1,2,2,求R(E-A),R(2E-A)?？

Answer 1

3阶矩阵特征值为1,2,2,
所以特征子空间的维数：
属于特征值1的特征子空间V1是1维,属于2的特征子空间V2是2维,
而V1是E-A的解空间,V2是2E-A的解空间；
再由解空间的维数与系数矩阵的秩之和为n；
所以R(E-A)=3-1=2;
R(2E-A)=3-2=1.,4,
huangzf 举报
表示没懂，能不能换一个角度，解空间我们没学……
还有，答案上R(E-A)=1，不知道是不是答案错了……
举报 xiao_laotou
应该是答案错了，你可以用特殊的例子diag（1，2，2）验算一下。
你还可以看一下下面的方法：
先解释一下符号diag(1,2,2):就是对角元为1，2，2的对角矩阵。
A有特征值1，2，2，所以：
A相似于对角阵diag（1，2，2）；即存在可逆阵C，C*AC=diag(1,2,2);
而C*(E-A)C=C*C-C*AC=E-diag(1,2,2)=diag(0,-1,-1);
所以C*(E-A)C的秩为2；
又由于初等行变换与初等列变换不改变矩阵的秩；
所以，R(E-A)=R(C*(E-A)C)=2;
同理，R(2E-A)=R(diag(1,0,0))=1;
huangzf 举报
有这么个定理：若n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似，就是说，特征值有相等的，那它就不能与对角阵相似啊，我就是纠结这里。
其实原题还有一句，就是说这个矩阵不与对角阵相似……
举报 xiao_laotou

”特征值有相等的，那它就不能与对角阵相似“这句话有问题。
因为A可对角化，即A相似于对角阵的 充要条件 是特征子空间的维数之和等于n。
n阶矩阵A的n个特征值互不相等，这只是一个充分条件。

如果A不可对角化，那么属于两个特征值的特征子空间的维数都是1
(因为它们的维数之和必定小于3)
那么R(E-A)，R(2E-A）都是等于2。
huangzf 举报
如果A不可对角化，那么属于两个特征值的特征子空间的维数都是1？为什么？
连同你第一次说的：属于特征值1的特征子空间V1是1维，属于2的特征子空间V2是2维？不懂 定理：A可对角化，即A相似于对角阵的充要条件是特征子空间的维数之和等于n。
所以如果A不可对角化，那么特征子空间的维数之和小于n，
那么题中如果A不可对角化，那么V1和V2的维数之和小于3.
又维数必然大于0，所以只可能是V1,V2维数都是1。

第一次说的时候，是建立在A可对角化的基础上的，此时V1与V2的维数之和等于3；
又因为有：
定理：几何重数<=代数重数，即特征子空间的维数<=特征值作为特征多项式根的重数；
题中特征值1作为根的重数为1，所以dimV1<=1,又dimV1>0,所以dimV1=1；
又因为A可对角化，所以V1与V2的维数之和等于3，
所以，dimV2=3-1=2.,