Question

已知数列{an} a1=1 an+1=1+1/2an 求an

Answer 1

这类问题都能这样解答：
方法 一 ： An+1 =1 + AN/2
同时两面乘以2的n+1次方
得到 An+1×2^(n+1)=2^(n+1)+An^2^n
设Bn=An×2^n ,而且B1=A1×2=2
上式变成：Bn+1 =Bn + 2^(n+1)
Bn - Bn-1 =2^n
.......
B2- B1 = 2^2
将上面的所有式子累加
Bn- B1 = 2^2+2^3+...+2^n
= 2^n - 4

所以Bn = 2^n -2
然后An =Bn/（2^n）=1 - 1/2^(n-1) （n大于等于2）

方法二：两面同时加 t
An+1 + t= AN/2 + t+1
=1/2(AN+ 2t+ 2 )
令 t = 2t+2可得 t= - 2

所以 An+1 - 2 =1/2( An - 2)
令An- 2 = Bn ，B1= - 1
则Bn+1 = 1/2 Bn
Bn是一个首项为 -1 公比为1/2的等比数列，求出Bn之后，加上2就是AN