Question

【数学】简单数列求和

令a,b为整数,a<b,c=(a/b);
求：
1.
∞
∑=c^n
n=1
2.
∞
∑=(c^n)*n
n=1

Answer 1

首先，第一个简单，是等比数列求和
直接用公式，所求X = c(1-C^n)/(1-c). 当n->∞， C^n =0， 化简得到结果为 X=c/(1-c) = a/(b-a)

第二题假设 Y= ∑=(c^n)*n （n从1到∞）= c^1 +2*c^2+3*c^3+4*c^4 ……
则 cY = ∑=(c^(n+1))*n （n从1到∞）= c^2+2*c^3+ 3*c^4……
两个式子相减得到 Y-cY = c+c^2+c^3 +…… =第一题所求X = c/（1-c）
Y = X/(1-c) = ab/(b-a)^2

Answer 2

c<1显然成立
∞
∑c^n=im c(1-c^n)/(1-c)=c/(1-c)=a/(b-a)
n=1 n→∞

第二个用级数比较简单
∞ ∞
∑x^n*n=x*∑x^(n-1)*n
n=1 n=1
积分0到x
∞ ∞
x*∫[0,x]*∑x^(n-1)*ndx=∑x^(n+1)=x^2/(1-x)
n=1 n=1
再求导
∞
∑x^n*n=x[x/(1-x)]'=x/(x-1)^2
n=1
令x=c
∞
∑c^n*n=c/(c-1)^2=ab/(b-a)^2
n=1

或者
I=c+2c^2+3c^3+...+(n-1)c^(n-1)+nc^n
cI= c^2+2c^2+... +(n-1)c^n+nc^(n+1)
I(1-c)=c+c^2+c^3+...+c^n-nc^(n+1)
取极限I(1-c)=c/(1-c)
I=c/(1-c)^2=ab/(b-a)^2