Question

四边形ABCD中，向量BC‖AD，向量AB=（6,1），向量BC=(x,y).向量CD=（-2，-3） （1）求x与y的关系式； （2

四边形ABCD中，向量BC‖AD，向量AB=（6,1），向量BC=(x,y).向量CD=（-2，-3）
（1）求x与y的关系式；
（2）若向量AC垂直于向量BD，求x、y的值及四边形ABCD的面积。

Answer 1

（1）依题意，我们不妨设向量DA=（m，n）
因为是四边形 所以有AB+BC+CD+DA=0（均指向量），
所以AB+BC+C =-DA，根据向量坐标运算可知
（6,1）+（x，y）+（-2.，-3)=(-m,-n）
所以可得4+x=-m y-2=-n
又因为BC平行于DA 即x*n=y*m
联立两式可解得 2y+x=0

（2）由题意 AC=BC-BA BD=CD-CB
带入已知条件可得AC=(x+6,y+1）BD=（x-2，y-3)
因为AC垂直于BD 所以（x+6)*(x-2)+（y+1)*y-3)=0
在（1）中已知2y+x=0 带入解得
x1=-6 x2=2
y1=3 y2=-1

1)当X,Y的值为(-6,3)时,求四边形ABCD的面积.
向量BD=向量AD-向量AB=(X-2,Y-3)=(-8,0)
|BD|=8,
向量BC=(X,Y)=(-6,3),
|BC|=3√5,
向量BD*向量BC=(-8)*(-6)+0*3=48.
则三角形BCD的面积为:
S-BCD=1/2*√[(|BD|*|BC|)^2-(向量BD*向量BC)^2]
=12.

向量AD=向量AC+向量CD=(4+x,y-2)=(-2,1),
|AD|=√5,
向量AB=（6，1），
|AB|=√37,
向量AD*向量AB=-11.
在三角形ABD中,
S-ABD面积=1/2*√[(|AD|*|AB|)^2-(向量AD*向量AB)^2]
=4.
则,四边形ABCD的面积=S-BCD+S-ABD面积=12+4=16,

2)当X,Y的值为(2,-1)时,方法同上,略,