Question

设o为三角形ABC的外心，且3向量OA+4向量OB+5向量OC=O,则三角形ABC的内角C的角度？

请详细解答

Answer 1

|向量OA|=|向量OB|=|向量OC|=外接圆半径R。
3向量OA+4向量OB+5向量OC=O,
向量OC=-(3/5向量OA+4/5向量OB)
延长CO交外接圆与D点，则向量OD=3/5向量OA+4/5向量OB
根据平行四边形法则可知：向量OD，3/5向量OA，4/5向量OB构成平行四边形，
向量OD是对角线，向量OD，3/5向量OA，4/5向量OB的模分别是R，3R/5,4R/5.
R²=(3R/5)²+(4R/5)²,
所以∠AOB=90°，
在圆上，圆心角是相应圆周角的2倍，∠AOB=2∠ACB,
∴三角形ABC的内角C是45°.

Answer 2

∠ACB=45°

由题意 |OA|=|OB|=|OC|

∵3OA+4OB=-5OC

∴(3OA+4OB)²=(-5OC)²,即9|OA|²+16|OB|²+24OA*OB=25|OC|²

∴OA*OB=0

∴OA⊥OB,∠AOB=90°

∴∠ACB=(1/2)∠AOB=45°