Question

lim(x→0)(1+xsinx)∧1/1-cosx

Answer 1

要计算该极限，我们可以尝试使用洛必达法则。
具体步骤如下：

lim (x 0) [(1 + x sinx)^1/(1 - cosx)]

= exp [lim (x 0) {ln(1 + x sinx)/(1 - cosx)}]

现在我们需要计算这个新的极限。

令f(x) = ln(1 + x sinx)，g(x) = 1 - cosx，则

f'(x) = (sinx + x cosx)/(1 + x sinx)

g'(x) = sinx

因此，

lim (x 0) {ln(1 + x sinx)/(1 - cosx)}

= lim (x 0) {f'(x)/g'(x)} （应用洛必达法则）

= lim (x 0) [(sinx + x cosx)/(sinx)]

= lim (x 0) [1 + x cotx] = 1

因此，

lim (x 0) [(1 + x sinx)^1/(1 - cosx)] = exp[lim (x 0) {ln(1 + x sinx)/(1 - cosx)}] = exp(1) = e

因此，原极限为e。

Answer 2

lim(x→0) (1+xsinx)^[1/(1-cosx)]
= lim(x→0) (1+xsinx)^[1/(xsinx)]^[xsinx/(1-cosx)]
= e^lim(x→0)[xsinx/(1-cosx)] = e^lim(x→0)[x^2/(x^2/2)] = e^2