Question

高二文科数学题，求详细过程和答案

建一容积为2000米3的底面为正方形的长方体形无盖储水池，池底造价为100元／米2 ，池壁造价为200元／米2 ，则底面边长为多少 时总造价最低？最低造价为多少万元？

Answer 1

设池底正方形边长为x米
则池底面积为x^2.
设池深为h米，
那么h*x^2=2000
h=2000/x^2
池壁面积为h*4x=8000/x
池底造价为100元／米2 ，
池壁造价为200元／米2 ，
总造价
y=100x^2+200*8000/x
=100x^2+1600000/x
y'=200x-1600000/x^2
令y'=0
即200x-1600000/x^2=0
所以x^3=8000
x=20
当0<x<20时，y'<0,函数递减
当x>20时，y'>0,函数递增
当x=20时，y取得最小值40000+80000=120000

即底面边长为20米 时总造价最低，最低造价为12万元.

Answer 2

设底正方形边长x，则水池高2000/(x2)底面造价100x𠆢2 侧壁造价200x·2000/(x2)·4=1600000/x。问题变成求总造价函数S(x)=100x2+1600000/x的最小值 S’(x)=200x-1600000/x2。令S’(x)=0，得x=20(m) 水池高5m
检验可知此为极小值 而函数S(x)仅有一个极值 故此是最小值