Question

如图，已知椭圆E1方程为x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，圆E2方程为x2+y2=a2，过椭圆的左顶点A作斜率为k1直线l1与

如图，已知椭圆E1方程为x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，圆E2方程为x2+y2=a2，过椭圆的左顶点A作斜率为k1直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于B、C． （Ⅰ）若k1=1时，B恰好为线段AC的中点，试求椭圆E1的离心率e；（Ⅱ）若椭圆E1的离心率e=12，F2为椭圆的右焦点，当|BA|+|BF2|=2a时，求k1的值；（Ⅲ）设D为圆E2上不同于A的一点，直线AD的斜率为k2，当k1k2＝b2a2时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

（I）当k₁=1时，点C在y轴上，且C（0，a），则B(?

a

2

，

a

2

)，
由点B在椭圆上，得

(? a 2 )2

a2

+

( a 2 )2

b2

＝1，化为

b2

a2

＝

1

3

，
∴e＝

c

a

＝

1? b2 a2

＝

6

3

．
（II）设椭圆的作焦点为F₁，由椭圆的定义可知：|BF₁|+|BF₂|=2a，又|BA|+|BF₂|=2a，
∴|BF₁|=|BA|，则点B在线段AF₁的垂直平分线上，
∴xB＝?

a+c

2

，
又e＝

c

a

＝

1

2

，∴c＝

1

2

a，b＝

3

2

a，
∴xB＝?

3

4

a，代入椭圆方程得yB＝±

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