Question

一个袋中装有形状大小完全相同的球9个，其中红球3个，白球6个，每次随机取1个，直到取出3次红球即停止．

一个袋中装有形状大小完全相同的球9个，其中红球3个，白球6个，每次随机取1个，直到取出3次红球即停止．（Ⅰ）从袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P1；（Ⅱ）从袋中有放回地取球．①求恰好取5次停止的概率P2；②记5次之内（含5次）取到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

（Ⅰ）恰好取4次停止的概率P₁=

C 1 3 C 1 6 A 3 3

A 4 9

=

1

28

．
（Ⅱ）①恰好取5次停止的概率P₂=

C

2 4

×(

1

3

)2×(

2

3

)2×

1

3

=

8

81

．
②由题意知随机变量ξ的取值为0，1，2，3，
由n次独立重复试验概率公式P_n（k）=

C

k n

pk(1?p)n?k，得
P（ξ=0）=

C

0 5

×(1?

1

3

)5=

32

243

，
P（ξ=1）=

C

1 5

×

1

3

×(1?

1

3

)4=

80

243

，
P（ξ=2）=

C

2 5

×(

1

3

)2(1?

1

3

)3 =

80

243

，
ξ=3这个事件包括了三种情况，第一种取三次取到全是红球，第二种取四次取到三次红球，此时，第四次一定取到红球，前三次两次取到红球，第三种取五次取到三个红球，第五次取到的是红球，前四次取到两次红球，故有
P（ξ=3）=(

1

3

)3+

C

1 3

×(

1

3

)3×(1?

1

3

)+

C

2 4

×(

1

3

)3×(1?

1

3

)2=

51

243

，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	32 243	80 243	80 243	51 243

∴Eξ=0×

32

243

+1×

80

243

+2×

80

243

+3×

51

243

=

131

81

．