Question

已知圆已知圆C:(x+2)^2+y^2=4,相互垂直的两条直线l1,l2都过点A(a,0),且l1,l2都和圆C相切，求直线l1、l2

Answer 1

解：(1)若l1，l2都有圆C相切，则|a＋2|＝2
∴a＝2 或a＝－2
当a＝2 时，直线l1，l2的方程为y＝x＋2－2 ，y＝－x－2＋2
当a＝－2 时，直线l1，l2的方程为：y＝x＋2＋2 ，y＝－x－2－2
(2)当a＝2时，A(2，0)，设直线l1与圆M切于点P
则∠MAP＝45°，∵圆M与圆C外切
∴
∴m＝± ，∴
∴圆M的方程为(x－1)2＋(y－ )2＝4或(x－1)2＋(y＋ )2＝4。
(3)当a＝－1时，A(－1,0)
若l1⊥x轴，则l2为x轴，l1l2被圆C截得的弦长之和为4＋2
若l1l2都不与x轴垂直，可设l1的方程为y＝k(x＋1)
则l2的方程为y＝－
l1l2被圆C截得的弦长之和为2
＝2
≤4 ,2
故当a＝－1时，l1，l2被圆C所截得的弦长之和的最大值为2 。

Answer 2

依题意，可设圆M的方程为：(x- 1)^2+(y-m)^2=r^2，
而圆C的圆心为 (-2，0)， 半径为2，圆M与圆C外切，
所以(1+2)^2+(m-0)^2=(r+2)^2 ，化简得： m^2=r^2+4r-5..............(1)。
又相互垂直的两条直线L1、 L2都过（2，0），且与圆M 相切，
故圆M的圆心（1，m）与L1、L2的垂足（2，0）的连线平分直角，
且其长为圆M的半径的(根号2)倍。
即 (1-2)^2+(m-0)^2=（根号2*r）^2 ，化简得： m^2=2r^2-1.............(2).
联立（1）、（2），解方程组，得： r=2， m= 根号7 或 -根号7。
所以所求圆M的方程为：(x-1)^2+(y-根号7)^2=4 或 (x-1)^2+(y+根号7)^2=4。对我有帮助
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