Question

问一高二数学椭圆题

设A B分别为X2/a2+y2/b2=1的左右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，x=4为有准线
设P为不同于（4.0）右准线任意一点，与直线AP BP与椭圆相交于异于A B的点M N，证明点B在以MN为直径的园内

Answer 1

由a=2c，a^2/c=4，得a=2，c=1，b^2=3，椭圆方程3x^2+4y^2-12=0，设M（s，t），过M做ME垂直x轴于E，过M做MD平行PB并交x轴于D，准线与x轴交于Q，DE：BQ=ME：PQ=AE：AQ，DE=1/3AE=1/3（s+2），EB=2-s。只需证角NBM是钝角，即角DMB=角MBP为锐角，即只需证MD^2+MB^2>DB^2，即DE^2+EB^2+2*ME^2>DE^2+EB^2+2*DE*EB,即ME^2>DE*EB,本题得证。
M（s，t）在椭圆上且t<>0，DE*EB=1/3(4-s^2)=1/9(12-3s^2)=4/9t^2<t^2=ME^2。证明完毕，谢谢评价。