Question

△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，-bcosB，ccosA成等差数列．（I）求角B的大小；（Ⅱ）

△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，-bcosB，ccosA成等差数列．（I）求角B的大小；（Ⅱ）若b=2 7 ， S △ABC =2 3 ，求a，c的长．

Answer 1

（I）∵acosC，-bcosB，ccosA成等差数列， ∴-2bcosB=acosC+ccosA， 利用正弦定理化简得：-2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）， 又sin（A+C）=sin（π-B）=sinB， ∴-2sinBcosB=sinB， 又B为三角形的内角，∴sinB≠0， ∴cosB=- 1 2 ， 则B= 2π 3 ； （Ⅱ）∵B= 2π 3 ，∴sinB= 3 2 ， 又S △ABC 1 2 acsinB=2 3 ， ∴ac=8①， 又b=2 7 ，cosB=- 1 2 ， ∴由余弦定理得：cosB= a 2 + c 2 - b 2 2ac = a 2 + c 2 -28 16 =- 1 2 ， 可得：a 2 +c 2 =20， ∴（a+c） 2 =a 2 +c 2 +2ac=20+16=36， ∴a+c=6②， 联立①②解得：a=2，c=4或a=4，c=2， 则a=2，c=4或a=4，c=2．