Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），当x∈[-1，1]时，|f（x）|≤1．（1）求证：|b|≤1；（2）若

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），当x∈[-1，1]时，|f（x）|≤1．（1）求证：|b|≤1；（2）若f（0）=-1，f（1）=1，求f（x）的表达式．

Answer 1

证明：（1）由已知得|f（-1）|=|a-b+c|≤1，|f（1）|=|a+b+c|≤1
∴|2b|=|f（1）-f（-1）|≤|f（1）|+|f（-1）|≤2
∴|b|≤1
（2）若?

b

2a

＜?1，则f（x）在[-1，1]为增函数，
∴f（-1）＜f（0），f（0）=-1
∴|f（-1）|＞1与|f（-1）|≤1矛盾；
若?

b

2a

＞1，则f（x）在[-1，1]为减函数，
∴f（1）＜f（0）与已知矛盾．
所以?

b

2a

∈[?1，1]，从而由

f(0)＝?1 f(1)＝1 |f(? b 2a )|≤1

解得

a＝2 b＝0 c＝?1

∴f（x）=2x²-1