Question

高一数学 定义在R上的函数y=f（x）对任意的a，b属于R都满足f（a+b）=f（a

高一数学 定义在R上的函数y=f（x）对任意的a，b属于R都满足f（a+b）=f（a）·f（b） 当x大于0时 有f（x）大于1 其中f（1）=2
证明：y=f（x）在R上是增函数

Answer 1

看罢这个题目我还有有些疑问，不清楚f(1)=2这个条件怎么用，只能猜想这个题目不止一问，应该还有其他问题，题主比没有贴出；也可能是我解法有误，欢迎指摘。

证明函数为增函数无非就是证明函数中后一项函数的值大于前一项函数的值，可以使用做差或者做商。这个题目需要采用做商（为什么采用做商？因为题目中出现了这样的字眼“x大于0”“f(x)大于1”；若出现函数值大于0之类的字眼才需要考虑做差）

证明：

任取函数定义域内的两个点x，x+t，t为微小的正值，t>0表示后者比起前者大。（下式中的三角x就是t，因为百度知道不能使用特殊字符）

（1）

因为t>0，所以f(t)>1。

所以对于函数f(x)，后一项总比前一项大，所以f(x)是增函数。

注意：需要讨论f(x)是否等于0,否则上式做商时无法说明对于全体实数都成立。

证明：

设函数f(x)存在取值s使得f(s)=0，则有

    f(s+x)=f(s)*f(x)

    f(s+x)=0*f(x)=0，所以f(s+x)=0，这表示s与任意x的和的函数值都为0，

这与题目条件矛盾，表明f(x)=0无解，所以（1）式中的分母不为0，f(x)为增函数对于全体实数成立。

Answer 2

当x=0的时候，可知f（x）=f（x+0）=f（x）f（0）恒成立
因为当x＞0的时候，f（x）＞0，所以f（0）=1
当x＜0的时候，-x＞0，f（-x）＞0
那么f（x）f（-x）=f（x+（-x））=f（0）=1
所以f（x）=1/f（-x）＞0
所以当x∈R的时候，f（x）＞0恒成立。
任意设x1＜x2，则x2-x2＞0
那么f（x2）=f（x1+（x2-x1））=f（x1）f（x2-x1）
因为x2-x1＞0，所以f（x2-x1）＞1
因为f（x1）＞0
所以f（x1）f（x2-x1）＞f（x1）*1（不等式两边同时乘以一个相同的正数，不等号不变号）
即f（x2）＞f（x1）
所以f（x）是增函数。

追问

能否用f（x1）-f（x2）这种方法做一遍 谢谢

追答

当x=0的时候，可知f（x）=f（x+0）=f（x）f（0）恒成立
因为当x＞0的时候，f（x）＞0，所以f（0）=1
当x＜0的时候，-x＞0，f（-x）＞0
那么f（x）f（-x）=f（x+（-x））=f（0）=1
所以f（x）=1/f（-x）＞0
所以当x∈R的时候，f（x）＞0恒成立。
任意设x1＜x2，则x2-x1＞0
那么f（x2）=f（x1+（x2-x1））=f（x1）f（x2-x1）
所以f（x2）-f（x1）=f（x1）f（x2-x1）-f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]
因为x2-x1＞0，所以f（x2-x1）＞1，所以f（x2-x1）-1＞0，又因为f（x1）＞0
所以f（x2）-f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]＞0
所以f（x）的增函数。

方法其实是一样啊。

Answer 3

f(a) f(b) 中间是啥符号啊