Question

线性变换怎么证明？

Answer 1

容易看出这是一个变换（因为对每一个f(x),都有一个R[x]4与它对应），故只需证明这个变换保持加法，保持数乘就可以了。保持数乘容易证明，因为每个多项式乘以一个常数后系数都乘以这个常数，所以变换后每个系数都可以把一个k提出来，这样就证明了T(kR[x])=kT(R[x])了。保持加法的话，就是要证明T(R1[x]+R2[x])=T(R1[x])+T(R2[x]),两个多项式的和的系数就是对应项系数的和，所以映射过去后还是这个形式，而等式右边先映射过去后再加起来对应系数也是一样的。这样就能证明保持加法，保持数乘运算了。

Answer 2

这个东西叫柯西方程www
真的！！！只要是你想得到的条件，随便加一个他就是正比例函数了！！
当然除了周期性这种奇怪的东西以外…
然而当时看到他的反例的时候也是惊呆了！ 就是不加条件但是也满足柯西方程的函数
是说把实数集R作为有理数域Q上的一个线性空间~~
然后用佐恩引理(选择公理也行吧…随便你╮(╯▽╰)╭)
可以证明任何一个线性空间都有一个基
所以这个也有一个基~~
我们把这个基随便赋值就好( •̀∀•́ )
剩下的函数值就由基推出来就可以了~
可以证明它的图像在平面内处处稠密~
就是说任何一个圆圈(任意小的都可以)都会盖住它的无穷多个点
就是说他的图像看起来就是整个平面( •̀∀•́ )
后来学数分的时候感觉很多其他的东西都可以拿它举反例~~