Question

已知函数f(x)=a(cos2x+sinxcosx)+b （1）当a＞0时，求f(x)的单调递增区间（2）当a＜0且x∈[0，π/2]时，f(

Answer 1

f(x)的值域是[3,4],求a,b的值?

(x)=a[cos^2(x)+sinxcosx]+b
=a[(1+cos2x)/2+(1/2)(2sinxcosx)]+b
=a[(1/2)sin2x+(1/2)cos2x+1/2]+b
=a[(1/2)(sin2x+cos2x)]+(a+2b)/2
=(√2a/2)sin(2x+π/4)+(a+2b)/2

则：
(1)
由于：a>0
则：
当f(x)单调递增时，
2kπ-π/2=<2x+π/4<=2kπ+π/2
即：
kπ-3π/8=<x<=kπ+π/8
故单调递增区间为：[kπ-3π/8,kπ+π/8]

(2)由于：x属于[0,π/2]
则：2x+π/4属于[π/4,5π/4]
则：sin(2x+π/4)属于[-√2/2,1]
由于：a<0
则：f(x)属于：[(√2+1)a/2+b,b]
又：f(x)的值域是[3，4]
则：
(√2+1)a/2+b=3
b=4
故：
a=2-2√2,b=4