Question

f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导f(a)=a,∫(a,b)f(x)dx=1/3(b^3-a^3)？

f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导，f(a)=a,∫(a,b)f(x)dx=1/3(b^3-a^3),求证至少存在一点ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=2ξ

Answer 1

此题有误，f(a)应=a^2
令F(x)=∫(a,x)f(t)dt-(1/3)*x^3，根据题意，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导

且F(a)=F(b)=(-1/3)a^3，所以根据泰勒中值定理，存在ξ∈(a,b)，使得：
F(b)=F(a)+F'(a)*(b-a)+F''(ξ)/2*(b-a)^2
(-1/3)a^3=(-1/3)a^3+[f(a)-a^2]*(b-a)+[f'(ξ)-2ξ]/2*(b-a)^2

f'(ξ)-2ξ=2[a^2-f(a)]/(b-a)
=2(a^2-a^2)/(b-a)
=0
证毕

Answer 2

同求这个真题答案，我不知道你是不是和我做的同一套卷子

Answer 3

这个题目有问题