Question

已知数列an满足an+1=(1+an)/3-an , 且a1=0

a2=1/3 a3=1/2 a4=3/5 猜想{an} 的通项公式并用数学归纳法证明

Answer 1

猜想an=(n-1)/(n+1)
n=1时
a1=0，猜想成立
设n=k时，猜想成立
a(k)=(k-1)/(k+1)
则，n=k+1时
a(k+1)=[1+a(k)]/[3-(ak)]
=[1+(k-1)/(k+1)]/[3-(k-1)/(k+1)]
=(2k)/(2k+4)
=(k)/(k+2)
=[(k+1)-1]/[(k+1)+1]
n=k+1时，猜想成立
所以，{an}的通项公式为
an=(n-1)/(n+1)