Question

如图,在等边三角形abc中,bc=6cm

如图,在等边三角形ABC中,BC=6cm. 射线AG//BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/
的速度运动,同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动,设运动时间为t(s).
（1）连接EF,当EF经过AC边的中点D时,求证：△ADE≌△CDF；
（2）填空：
①当t为_________s时,四边形ACFE是菱形；
②当t为_________s时,以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形.

Answer 1

（1）证明：∵AG∥BC,
∴∠EAD=∠DCF,∠AED=∠DFC,
∵D为AC的中点,
∴AD=CD,
在△ADE和△CDF中,
∠EAD＝∠DCF
∠ADE＝∠CDF
AD＝CD
,
∴△ADE≌△CDF（AAS）；
①由题意得：AE=2t,CF=3t-6．
若四边形ACFE是平行四边形,则有CF=AE,则2t=3t-6,
解得t=6．
所以,当t=6时,四边形ACFE是平行四边形；
②情形一：四边形AFCE为直角梯形时,AF⊥BC或CE⊥AG．
当AF⊥BC时,则BF=3t=3,解得t=1,符合题意；
当CE⊥AG,则AE=2t=3,解得t=1.5,符合题意．
情形二：若四边形ACFE是直角梯形时,此时EF⊥AG．
则BF-AE=3,即3t-2t=3,解得t=3,符合题意；
综上所述,当t=1s、1.5s或3s时,以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形．