Question

已知x属于(0,正无穷大)时,不等式9^x-m·3^x+m+1>0恒成立,则m的取值范围

Answer 1

令t=3^x

则 t＞1

不等式变成 t^2-mt+m+1＞0

（1）对称轴 t=m/2≤1时，f(t)=t^2-mt+m+1单调递增

所以，仅需 f(1)=3≥0即可，显然，都能成立，所以符合要求；

（2）对称轴 t=m/2＞1时，最小值为f(m/2)

仅需 f(m/2)=-m^2/2+m+1＞0即可，

解得，1-√3＜m＜1+√3

所以，2＜m＜1+√3

综上，m＜1+√3

追答

令t=3^x
则 t＞1
不等式变成 t^2-mt+m+1＞0
（1）对称轴 t=m/2≤1时，f(t)=t^2-mt+m+1单调递增
所以，仅需 f(1)=3≥0即可，显然，都能成立，所以符合要求；

（2）对称轴 t=m/2＞1时，最小值为f(m/2)
仅需 f(m/2)=-m^2/4+m+1＞0即可，
解得，2-2√2＜m＜2+2√2
所以，2＜m＜2+√3

综上，m＜1+√3

令t=3^x
则 t＞1
不等式变成 t^2-mt+m+1＞0
（1）对称轴 t=m/2≤1时，f(t)=t^2-mt+m+1单调递增
所以，仅需 f(1)=3≥0即可，显然，都能成立，所以符合要求；

（2）对称轴 t=m/2＞1时，最小值为f(m/2)
仅需 f(m/2)=-m^2/4+m+1＞0即可，
解得，2-2√2＜m＜2+2√2
所以，2＜m＜2+2√2

综上，m＜2+2√2

这次才是全对的，呵呵