Question

如图所示． P 是 ⊙O 外一点． PA 是 ⊙O 的切线． A 是切点． B 是 ⊙O 上一点．且 PA = PB ，连接 AO

如图所示． P 是 ⊙O 外一点． PA 是 ⊙O 的切线． A 是切点． B 是 ⊙O 上一点．且 PA = PB ，连接 AO 、 BO 、 AB ，并延长 BO 与切线 PA 相交于点 Q ． （1）求证： PB 是 ⊙O 的切线； （2）求证： AQ ? PQ = OQ ? BQ ； （3）设∠ AOQ = ．若cos = ． OQ = 15．求 AB 的长





Answer 1

（1）证明：连接OP，与AB交与点C．∵PA=PB，OA=OB，OP=OP， ∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠OBP=∠OAP， ∵PA是⊙O的切线，A是切点，∴∠OAP=90°，∴∠OBP=90°，即PB是⊙O的切线； （2）∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°，∴△QAO∽△QBP， ∴ ，即AQ?PQ=OQ?BQ； （3）在Rt△OAQ中，∵OQ=15，cosα= ，∴OA=12，AQ=9，∴QB=27；∵ ， ∴PQ=45，即PA=36，∴OP= ；∵PA、PB是⊙O的切线，∴OP⊥AB，AC=BC， ∴PA?OA=OP?AC，即36×12= ?AC，∴AC= ，故AB=

此题考核圆的切线，相似三角形的判定和性质