Question

如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA=PB，连接BO并延长与切线PA相交于点Q．

如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA=PB，连接BO并延长与切线PA相交于点Q．求证：（1）PB是⊙O的切线；（2）AQ?PQ=OQ?BQ．

Answer 1

证明：（1）连结OA、OP，如图， ∵PA是⊙O的切线， ∴OA⊥PA， ∴∠OAP=90°， 在△PAO和△PBO中， PA=PB PO=PO OA=OB ， ∴△PAO≌△PBO（SSS）， ∴∠OBP=∠OAP=90°， ∴OB⊥PB， ∴PB是⊙O的切线； （2）∵∠OBP=∠OAP=90°， 而∠AQO=∠BQP， ∴Rt△PBQ ∽ Rt△OAQ， ∴PQ：OQ=BQ：AQ， ∴AQ?PQ=OQ?BQ．