Question

（2014?闵行区三模）已知：如图，在△ABC中，AC=15，BC=18，sinC=45，D为边AC上的动点（不与A、C重合），

（2014?闵行区三模）已知：如图，在△ABC中，AC=15，BC=18，sinC=45，D为边AC上的动点（不与A、C重合），过D作DE∥BC，交边AB于点E，过D作DF⊥BC，垂足为F，联结BD，设CD=x．（1）如果梯形EBFD的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出这个函数的定义域；（2）如果△BDF的面积为S1，△BDE的面积为S2，那么当x为何值时，S1=2S2；（3）如果以D为圆心，DC为半径的⊙D与以E为圆心，AE为半径的⊙E相切，求线段DC的长．

Answer 1

（1）在Rt△CDF中，
∵sinC＝

4

5

，CD=x，
∴DF＝CD?sinC＝

4

5

x，CF＝

CD2?DF2

＝

3

5

x．
∴BF＝18?

3

5

x．
∵DE∥BC，
∴

ED

BC

＝

AD

AC

．
∴ED＝

BC?AD

AC

＝

18?(15?x)

15

＝18?

6

5

x．
∴S＝

1

2

?DF?(ED+BF)＝

1

2

?

4

5

x?(18?

6

5

x+18?

3

5

x)＝?

18

25

x2+

72

5

x，0＜x＜15．

（2）如图1，过点B作BG⊥DE的延长线与D，则BG为△DBE的高，

∵DE∥BC，
∴BG=FE，
∴△DBF与△DBE等高，
∴S₁：S₂=BF：ED，
∵S₁=2S₂，
∴BF=2ED，
∴18?

3

5

x＝2?(18?

6

5

x)，
解得，x=10，即当x=10时，S₁=2S₂．

（3）如图2，过A作AH⊥BC，垂足为H．

在Rt△AHC中，
∵AC=15，sinC＝

4

5

，
∴CH=9．
∵BC=18，
∴BH=BC-CH=18-9=9=CH，
∴AB=AC=15．
∵DE∥BC，
∴

AE

AB

＝

AD

AC

，
∴AE=AD=15-x．
由题意，R_⊙D=DC=x，R_⊙E=AE=15-x，DE＝

6

5

(15?x)．
①当⊙D与⊙E外切时，
∵DE=R_⊙D+R_⊙E，
∴

6

5

(15?x)＝x+15?x
解得，x＝

5

2

．
②当⊙D与⊙E内切时，
∵DE=|R_⊙D-R_⊙E|，
∴

6

5

(15?x)＝|x?15+x|
解得，x1＝

165

16

，x2＝?

15

4

（负值舍去）．
综上所述，两圆相切时，线段DC的长为

5

2

或

165

16

．