如图所示,AC为⊙O的直径且PA⊥AC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC于点D, . (1)求证:直线PB是⊙O
如图所示,AC为⊙O的直径且PA⊥AC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC于点D,.(1)求证:直线PB是⊙O的切线;(2)求cos∠BCA的值....
如图所示,AC为⊙O的直径且PA⊥AC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC于点D, . (1)求证:直线PB是⊙O的切线;(2)求cos∠BCA的值.
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怀桃QY
2014-09-16
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解:(1)证明:连接OB、OP ∵ 且∠D=∠D ∴ △BDC∽△PDO ∴ ∠DBC=∠DPO ∴ BC∥OP ∴ ∠BCO=∠POA ∠CBO=∠BOP ∵ OB=OC ∴ ∠OCB=∠CBO ∴ ∠BOP=∠POA 又∵ OB=OA OP=OP ∴ △BOP≌△AOP ∴ ∠PBO=∠PAO 又∵ PA⊥AC ∴ ∠PBO=90° ∴ 直线PB是⊙O的切线 (2)由(1)知∠BCO=∠POA 设PB ,则 又∵ ∴ 又∵ BC∥OP ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ cos∠BCA=cos∠POA= |
(1)连接OB、OP,由 且∠D=∠D,根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO,可得到BC∥OP,易证得△BOP≌△AOP,则∠PBO=∠PAO=90°; (2)设PB=a,则BD=2a,根据切线长定理得到PA=PB=a,根据勾股定理得到 ,又BC∥OP,得到DC=2CO,得到 ,则 ,利用勾股定理求出OP,然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值. |
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