Question

y=sinx+cosx+sin2x的值域怎么算

Answer 1

解：
y=sinx+cosx+sin(2x)
=√2[(√2/2)sinx+(√2/2)cosx]+cos(π/2- 2x)
=√2cos(x-π/4)+cos[2(x-π/4)]
=√2cos(x-π/4)+2cos²(x-π/4)-1
=[2cos²(x-π/4)+√2cos(x-π/4)] -1
=2[cos(x-π/4)+√2/4]²- 5/4
-1≤cos(x-π/4)≤1
cos(x-π/4)=1时，y有最大值ymax=2(1+√2/4)²- 5/4=1+√2
cos(x-π/4)=-√2/4时，y有最小值ymin=-5/4
综上，得函数的值域为[-5/4，1+√2]

解题思路：
通过三角恒等边形，变为配方的形式。将cos(x-π/4)看做自变量，转化为熟悉的二次函数求最大值、最小值问题。注意到-1≤cos(x-π/4)≤1，即自变量cos(x-π/4)的取值区间为[-1，1]，由此求得函数y的最大值、最小值，从而得到函数的值域。

Answer 2

令sinx+cosx=t,则t大于等于-根号2且小于等于根号2,
等式两边平方得1+2sin2x=t^2
sin2x= (t^2-1)/2
y=sinx+cosx+sin2x=t+(t^2-1)/2
=t^2/2+t-1/2
=(t+1)^2/2-1
把t的范围代入得y的值域为[-1,(1+2√2)/2]