Question

已知中心在原点的椭圆c的左焦点F(-根号3,0），右顶点A(2,0)

斜率为1/2的直线l经过点F且交椭圆c于A.B两点，求弦长/AB/

Answer 1

对於左焦点的坐标, 得c = -√3
对於右顶点的坐标, 得a = 2
由a² = b² + c²
代入2² = b² + (-√3)²
解得b = 1 (b > 0)
所以椭圆方程:x²/4 + y²/1 = 1
化简:x² + 4y² = 4 ~ (1)

因为直线的斜率为1/2, 过点F,
由点斜式得直线方程:y - 0 = (1/2) (x + √3)
化简:2y = x + √3 ~ (2)

由(2)代入(1):x² + (x + √3)² = 4
化简:2x² + 2√3x - 1 = 0
由韦达定理, 得x1 + x2 = -√3, x1x2 = -1/2

弦长∣AB∣= √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)²]
= √[(x1 - x2)²(1² + k²)] (k为直线的斜率)
= √{ [(x1 + x2)² - 4x1x2](1² + k²) } (注意:4x1x2是4*x1*x2)
= √{ [(-√3)² - 4*(-1/2)][1² + (1/2)²] }
= √(25/4)
= 5/2

注意:1. 此弦长公式还可以适用於其他的圆锥曲线.
2. 对於解一元次方程的根较复杂时, 可透过上述的韦达定理, 间接求出弦长.