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一个 线性代数 问题。 40
2017-09-21
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【分析】AAT为实对称矩阵,因为(AAT)T=AAT如果AAT为正定矩阵,那么|AAT|>0【解答】AAT为n×n阶矩阵1、若r(A)=r<min(n,m)r(AAT)≤r(A)<min(n,m)≤n,所以|AAT|=02、若n>m,r(A)=m,r(AAT)≤r(A)=m<n,所以|AAT|=03、若n<m,r(A)=n,对于齐次线性方程组ATx=0,r(AT)=n,只有零解。任意的x≠0,ATx≠0,则xT(AAT)x=(ATx)TATx>0所以AAT正定,所以|AAT|>0综上所述,|AAT|≥0【评注】设A为n×m矩阵,且r(A)=m<n,则ATA为正定矩阵。(注意和本题区分)正定矩阵的特征值都大于零,其行列式大于零。当A为实对称矩阵时,行列式|A|>0,就考虑到从正定矩阵角度来解答。newmanhero2015年2月10日20:54:33希望对你有所帮助,望采纳。
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2024-10-13 广告
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