Question

圆柱面x^2+y^2-ax=0（a>0）位于球面x^2+y^2+z^2=a^2内的面积是

Answer 1

令R=a就行，详情如图所示

Answer 2

解法如下：
两个方程x^2+y^2-ax=0和x^2+y^2+z^2=a^2联立，写出两个曲面交线的参数方程为：x=(a/2)+(a/2)cost，y=(a/2)sint，z=asint, 0<t<2π
所以侧面积S=2∫zdL=2∫(0->2π) z √(x't)²+(y't)² dt
=2∫(0->2π) asint (a/2)dt
=4a²
注：题目的中心思想，侧面积如果展开后，是一个曲边梯形，那么交线的纵坐标z就是曲边矩形的宽，其投影就是曲边梯形的长，用宽对长积分，就得到了曲边梯形的面积。