Question

求函数y=√(x^2-6x+13) -√(x^2+4x+5)值域

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Answer 1

y=√(x^2-6x+13)
-√(x^2+4x+5)
=√[(x-3)^2+2^2]
-√[(x+2)^2+1]
可以看成(x，0)到(3,2)和(-2,1)两点的距离之差
由三角形两边之差小于第三边知最大值是(3,2)和(-2,1)两点的距离
也就是√26，此时易求出x=-7
由于y=√(x^2-6x+13)
-√(x^2+4x+5)
=(x^2-6x+13-x^2-4x-5)/[√(x^2-6x+13)+√(x^2+4x+5)]
=(-10x+8)/[√(x^2-6x+13)
+√(x^2+4x+5)]
所以当x>4/5,y都取负值，且在（4/5,正无穷）单调递减
所以y(min)=lim(x→正无穷)(-10x+8)/[√(x^2-6x+13)
+√(x^2+4x+5)]
=lim(x→正无穷)(-10+8/x)/[√(1-6/x+13/x^2)
+√(1+4/x+5/x^2)]
=-10/2=-5
所以值域是（-5，√26]