Question

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)<a,f(b)>b。证明存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=ξ

Answer 1

令g(x)=f(x)-x，由题意知g(x)连续\r\ng(a)=f(a)-a<0,g(b)=f(b)-b>0\r\n∴g(a)g(b)<0\r\n∴根据零点定理可以知道存在ξ∈(a,b),使得g(ξ)=0,即f(ξ)-ξ=0，得证。\r\n\r\n零点定理：\r\n设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0,则存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=ξ