Question

3. 已知：如图，等边△ABC中，AB= 2，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P

3. 已知：如图，等边△ABC中，AB= 2，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E；过点E作EF⊥AC，垂足为F；过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，设BP=x，AQ=y.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合；
（3）当线段PE、FQ相交时，写出线段PE、EF、FQ所围成三角形周长的取值范围(不必写出解题过程) .

Answer 1

（1）∵△ABC是等边三角形

∴∠A=∠B=∠C=60° AB=AC=BC=2

∵PE⊥BC于E

∴∠PEB=90°

∴△BPE是直角三角形

∴BP=2BE

同理可证：EC=2FC AF=2AQ

∵BP=x AQ=y

∴BE=1/2x AF=2y

FC=AC-AF=2-2y

EC=BC-BE=2-1/2x

∴y=1/2+1/8x

（2）当点P与点Q重合时，x+y=2

即y=2-x

｛ y=1/2+1/8x

y=2-x

解得：x=4/3 y=2/3

∴BP=4/3

(3) 取值范围：（3√3，3√3 /2)

Answer 2

1) 如下图所示,∠1+∠C=90°,∠2+∠A=90°,∠A=∠C=60°,
∴ ∠1=∠2=30°, ∴ Rt△EFC∽Rt△FQA. AF/EC=AQ/FC.
在Rt△FQA中,AF=2AQ=2y,在Rt△PEB中,BE=2-(x/2), EC==2-2y,
∴ 2y/[2-(x/2)]=y/(2-2y),解得y=(x/8)+(1/2),(0<x≤2)
(2) 点P与Q重合时,x+y=2,由x+(x/8)+(1/2)=2,得x=4/3.
∴ BP=4/3时,点P与Q重合.