Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,且不等式f(x)<0的解集为（负无穷，1）并上（3，正无穷），若f(x)的最大值小于

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,且不等式f(x)<0的解集为（负无穷，1）并上（3，正无穷），若f(x)的最大值小于2，则a的取值范围是多少？ 麻烦写下详细过程，非常感谢！~

Answer 1

解：因为二次函数f(x)=ax^2+bx+c,且不等式f(x)＜0的解集为（-∞，1）∪（3，+∞）
那么a＜0,且1+3=-b/a,1*3=c/a
所以b=-4a,c=3a
所以f(x)=ax^2-4ax+3a=a(x^2-4x+3)=a[(x-2)^2-1]
所以f(x)的最大值是f(2)=-a
因为f(x)的最大值小于2
所以-a＜2
故a＞-2

所以-2＜a＜0

Answer 2

首先解集为（负无穷，1）并上（3，正无穷），可以明确a<0
将1和3作为f(X)=0的解带入可以得到b=-4a，c=3a
将b和c代换成a，可以得到f(x)=ax^2-4ax+3a<2
进一步求解得（x-2）^2>(a+2)/a
为使上式衡成立，要求（a+2）/a<0
进而-2<a<0

Answer 3

不等式解集实际上说明了方程的根式1和3，且抛物线开口向下，a<0

所以f(x)可以写成f(x)=a(x-1)(x-3),a<0的形式

二次函数的性质可以得到，最大值就是x=2时取得，为-a，所以-a<2

综合以上，a的取值范围就是-2<a<0

Answer 4

由题意可知x=1和x=3为ax²＋bx＋c＝0的两根
∴a+b+c=0 ①
9a+3b+c=0 ②
且对称轴为x=2
∴4a+2b+c＜2 ③
①②可知b=-4a
c=3a
代入③得a＞-2
又∵函数有最大值∴a＜0
∴-2＜a＜0