Question

若x、y满足x²+y²-4x-6y+12=0,则x²+y²的值最小值为

若x、y满足x²+y²-4x-6y+12=0,则x²+y²的值最小值为

Answer 1

(x-2)^2+(y-3)^2=1是圆心在P（2,3）,半径为1的圆，x²+y²最小值是圆上距离坐标原点最近的点距离的平方，将坐标原点与圆心P相连，与圆的交点M即是所求。
|OP| = 根号(2^2+3^2) = 根号13
|PM| = 1
|OM| = |OP| - |PM| = 根号13 -1
∴x²+y²最小值 = |OM|^2 = (根号13 -1)^2 = 14 - 2根号13

Answer 2

x2+y2-4x-6y+12=0 整理后得：(x-2)^2+(y-3)^2=1
令 x-2 = sina, y-3 = cosa,则
x^2+y^2 = (sina+2)^2 + (cosa+3)^2
= sina^2 + 4sina + 4 + cosa^2 + 6cosa + 9
= 14 + 4sina + 6cosa
= 14 + √（4^2 + 6^2） * sin(a+c) 其中(tanc = b/a)……和差化积公式
故其最小值为14