Question

高中解三角形问题

△ABC中，a、b、c为三边，A、B、C为三角，则 a的平方=b(b+c)为A=2B的_______条件（答案是充要哦）
我要过程

Answer 1

答案为充分必要条件 过程如下
一方面 有条件到结论 因为a^2=b(b+c) =b^2+bc
由余弦定理有a^2=b^2+c^2-2bccosA 所以 有 b^2+bc= b^2+c^2-2bccosA
即 c-b=2bcosA 由正弦定理变形为 sinC-sinB=2 sinBcosA
因为C=π-（A+B) 所以 sinC-sinB=sin(A+B)-sinB=sinAcosB+cosAsinB-sinB=2sinBcosA 移项变形得sinAcosB-sinBcosA =sinB 即 sin(A-B)=sinB 所以 有A-B=B A=2B
另一方面 由结论到条件 因为A=2B 所以C=π-（A+B）=π-3B
所以sinC-sinB=sin3B-sinB=sin2Bcosb+cos2BsinB-sinB=2sinBcosBcosB+(1-2sinB^2)sinB-sinB=2sinBcosBcosB-2sinBsinBsinB=2sinB(cosB^2-sinB^2)=2sinBcos2B =2sinBcosA
即 sinC-sinB=2sinBcosA 由正弦定理带回 得
c-b=2bcosA 所以 cosA=(c-b)/2b由余弦定理 带 回 可得 a^2=b^2+c^2-2bc(c-b)/2b
化简得 a^2=b(b+c)
此题得证