Question

如图，M、N分别为边长为1的正方形ABCD边CB、DC延长线上的点，且DN－BM＝MN． （1）如图1，求证：∠MAN＝45

（2）如图2，若DP⊥AN交AM于点P，求证：PA＋PC＝根号2PD；
（3）如图3，若C为DN的中点，求PC的长．
说明：不能用四点共圆来做

Answer 1

①在DC上取一点E，使NE=NM，则由DN-BM=MN知DE=BM.

由于四边形ABCD是正方形，那么三角形ADE和三角形ABM都是直角三角形，且AD=AB

由SAS知三角形ADE和三角形ABM全等，所以，AE=AM，∠DAE=∠BAM。

在三角形AEN和三角形AMN中，因AE=AM，AN=AN，NE=NM，

由SSS知三角形AEN和三角形AMN全等，所以，∠NAE=∠NAM。

则∠EAM=∠EAB+∠BAM=∠EAB+∠DAE=∠DAB=90°,且AN平分∠EAM

所以，∠MAN=45°。

②延长PC到F，使CF=AP，连接DF，BD。

由①中结论，∠MAN=45°,

因AN与DP垂直，所以，∠APD=90°-45°=45°，

又在正方形ABCD中易知∠ABD=45°，

即∠APD=∠ABD

因此，A、P、B、D四点共圆。

又因正方形ABCD四顶点也共圆，因此有A、P、B、C、D五点共圆。

所以，∠DAP=∠DCF。

又因正方形ABCD中DA=DC以及所作的AP=CF，

由三角形全等判别定理SAS可知

三角形DAP与三角形DCF全等。

则DP=DF，且∠ADP=∠CDF。

则∠PDF=∠FDC+∠CDP=∠CDP+∠ADP=∠CDA=90°。

所以，三角形DPF是等腰直角三角形，

因等腰直角三角形的斜边长是直角边长的√2倍，即有PF=(√2)PD

所以，PA+PC=CF+PC=PF=(√2)PD。

③若C是DN的中点，那么容易证明三角形CAM是顶角为45°的等腰三角形，PC是AM上的高，可算出PC=
=√（1+(√2)/2)

Answer 2

我我我呜呜呜鱼鱼鱼