Question

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已知函数f(x)=lnx+1/x+ax,x属于（0，正无穷）（a为实常数），（1）当a=0时，求f(x)的最小值。（2）若f(x)在[2，正无穷)上是单调函数，求a的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)=lnx+1/x+ax, x∈(0，正无穷）（a为实常数），（1）当a=0时，求f(x)的最小值。（2）若f(x)在[2，+∞)上是单调函数，求a的取值范围
解:(1) f(x)=lnx+1/x, 令f′(x)=1/x-1/x²=0,解得驻点x=1,又f〃(x)=-1/x²+2x/x⁴,故f〃(1)=-1+2=1＞0
∴x=1是极小点,f(x)的极小值=f(1)=1.
(2)要使f(x)=lnx+1/x+ax在[2,+∞)上单调,必须使其一阶导函数f′(x)=1/x-1/x²+a的符号保持不变,
由于f′(2)=1/2-1/4+a=1/4+a
X→+∞lim(1/x-1/x²+a)=a,
故要使f′(x)在[2,+∞)不变号,只需a≥0

Answer 2

1.对f（x）求导，得f‘（x）=1/X+1/X的平方，令f’（x）=0，得x=1，代入f（x）得f（1）=1
2.由于若f(x)在[2，正无穷)上是单调函数，则f‘（x）=1/x+1/X的平方+a=0，得到ax的平方+x-1=0
则该方程在x<=2有解，则根据二次方程根的求解方程，可得a>=0或者a<-1/4

Answer 3

(1) 当a=0时 f(x)=lnx+1/x f'(x)=1/x-1/(x^2)=(x-1)/(x^2) [其实f''(x)=-1/(x^2)+2/(x^3)] f'(x)在（0,1）小于零， 在（1，正无穷）大于零 ，故在x=1取最小值f(1)=1
(2)因为f''(x)=(2-x)/(x^3) f''(x)在[2,正无穷]上小于零 故f'(x)在[2,正无穷]递减 f'(2)=1/4+a
当x趋向正无穷 f'(x)趋向于a
分两种情况（1）f(x)单增 f'(x)>=0 即要求a>=0
(2)f(x)单减 f'(x)<=0 即要求1/4+a<=0即a<=-1/4

Answer 4

由题意可知，小明从A到C骑自行车用了60分钟。再从C到D又骑行了20分钟。因为60÷20=3，所以A、C间的路程是C、D间路程的3倍。