Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在X轴上，左右焦点分别为F1。F2且|F1F2|=2，点(1，3/2)在椭圆上过F1的直线L与

椭圆交于AB两点，且△AF2B的面积为12√2/ 7,求以F2为圆心且与L相切的圆的方程

Answer 1

解：令椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
那么 由题意得 c=F1F2|/2=1
又椭圆过（1,3/2）代入椭圆方程得1/a^2+9/(4b^2)=1
所以 b^2=3 a^2=4
所以椭圆方程为 x^2/4+y^2/3=1
因为 F1（0，-1）
令直线L的方程为 y=kx-1 A(x1，y1),B((x2,y2) （ 不妨取y1大于0 则y2比小于0 ）代入椭圆方程
整理得 (3+4k^2)x^2-8kx-8=0
所以 x1+x2=8k/(3+4k^2) xi*x2=-8/(3+4k^2)
x1-x2=根号（（x1+x2)^2-4x1*x2)=(4根号（6+12k^2）)/(3+4k^2)
所以y1-y2=k(x1-x2)=k(4根号（6+12k^2）)/(3+4k^2)

又 △AF2B的面积为12√2/ 7,
即 △AF2F1+△F1F2B的面积为12√2/ 7,
即 （1/2）|F1F2||y1|+(1/2)|F1F2||y2|=12√2/ 7,
代入值整理得|y1|+|y2|=12√2/ 7 即y1-y2=12√2/ 7
y1-y2=k(4根号（6+12k^2）)/(3+4k^2)=12√2/ 7
整理得 50k^4-23k^23-27=0
得k^2=1
所以 圆的半径为 r为F2到直线L的距离 r=2/(1+k^2)=√2
即圆的方程为 x^2+(y-1）^2=2