Question

已知函数f(x)=log2(2-x)+log2(2+x） 求f（x）的定义域和值域 判断f（x）的奇偶性并证明

Answer 1

【1】x-2＞0且x+2＞0.===>-2＜x＜2.∴定义域为(-2,2).【2】f(x)=log2(2-x)(2+x)=log2(4-x²).(-2＜x＜2).∵-2＜x＜2.===>0≤x²＜4.===>0＜4-x²≤4.===>log2(4-x²)≤log2(4)=2.∴值域为(-∞,2].【3】定义域(-2,2)关于原点对称。f(-x)=log2(2+x)+log2(2-x)=f(x).∴h函数f(x)为偶函数。

Answer 2

解：∵f(x)=log2(2-x)+log2(2+x）
由对数性质知 2-x>0，且2+x>0
==> -2<x<2
∴函数f(x)的定义域是 -2<x<2
∵f(x)=log2(2-x)+log2(2+x）
=log2[(2-x)(2+x)]
=log2(4-x²)
==>2^[f(x)]=4-x²
==>x²=4-2^[f(x)]
==>4-2^[f(x)]≥0 （∵x²≥0）
==>2^[f(x)]≤4
==>2^[f(x)]≤2²
==>f(x)≤2
∴函数f(x)的最大值是2，即它的值域是[-∞，2]
∵f(-x)=log2(2-(-2))+log2(2+(-2))
=log2(2+x)+log2(2-x)
=f(x)
∴函数f(x)是偶函数。