Question

已知双曲线中心在原点O，焦点在X轴上，两条渐近线分别为L1 L2。经过右焦点F垂直于L1的直线分别交L1 L2于A,

两点，已知向量OA、AB、OB的模成等差数列、且向量BF与FA同向。
（1） 求双曲线的离心率
（2）设AB被双曲线所截得线段长为4，求双曲线的方程
交于AB两点

Answer 1

（1）双曲线的渐近线方程为 y = (b/a)x ，y = -(b/a)x
由于直线AB垂直于L1，故直线AB的方程为：y = -(a/b)*(x - c)
这是因为两条垂直的平面直线其斜率的积是 -1。
将两条渐近线方程分别与直线AB的方程联立，求得A，B两点坐标
A（(a^2)/c，ab/c） B((ca^2)/(a^2 - b^2)，-abc/(a^2 - b^2))
已知向量OA、AB、OB的模成等差数列，故由直角三角形勾股定理的性质，不妨设：
OA = 3k AB = 4k OB = 5k 这里k等于某一非零正常数
固有：OA^2/OB^2 = 9/25，将A B的坐标代入，求得OA与OB，求得：
(a^2 + b^2)/(a^2 - b^2) = 5/3
整理得：离心率e = c/a = √5 / 2
(2) 由上问得到的结果，不妨再设：
a = 2m b = m c = √5m 这里m等于某一非零常数
因此双曲线方程可以写成：
x^2/4m^2 - y^2/m^2 = 1，再将直线AB的方程代入该式，经整理有：
15x^2 - 32√5x + 84m^2 = 0
x1 + x2 = m(32√5)/15 x1x2 = 84m/15
由于双曲线的弦长公式为：|x1 - x2|√(1 + k^2)
|x1 - x2| = √[(x1 + x2)^2 - 4x1x2]
将两根之和与两根之积的结果代入上式，得到：
弦长 = 4 = (4/3)m，m = 3
故双曲线方程为：x^2/36 - y^2/9 = 1

Answer 2

直线

Answer 3

若AB=4 则OA=3/4 * 4=3

易得L1： aY-bX=0

所以  AF=cb√a^2+b^2=b

因为  AF=0.5*OA

所以  b=AF=0.5*OA=1.

因为 OA=√OF^2-FA^2=√c^2-b^2=a=3

所以 a=3 b=3/2

所以 x^2/9 - 4*y^2/9 = 1