Question

已知双曲线中心在原点O，焦点在X轴上，两条渐近线分别为L1 L2。经过右焦点F垂直于L1的直线分别交L1 L2于A,

已知双曲线中心在原点O，焦点在X轴上，两条渐近线分别为L1 L2。经过右焦点F垂直于L1的直线分别交L1 L2于A, B
两点，已知向量OA、AB、OB的模成等差数列、且向量BF与FA同向。
（1） 求双曲线的离心率
（2）设AB被双曲线所截得线段长为4，求双曲线的方程：

Answer 1

楼主你好!解答如下:
（1）双曲线的渐近线方程为 y = (b/a)x ，y = -(b/a)x
由于直线AB垂直于L1，故直线AB的方程为：y = -(a/b)*(x - c)
这是因为两条垂直的平面直线其斜率的积是 -1。
将两条渐近线方程分别与直线AB的方程联立，求得A，B两点坐标
A（(a^2)/c，ab/c） B((ca^2)/(a^2 - b^2)，-abc/(a^2 - b^2))
已知向量OA、AB、OB的模成等差数列，故由直角三角形勾股定理的性质，不妨设：
OA = 3k AB = 4k OB = 5k 这里k等于某一非零正常数
固有：OA^2/OB^2 = 9/25，将A B的坐标代入，求得OA与OB，求得：
(a^2 + b^2)/(a^2 - b^2) = 5/3
整理得：离心率e = c/a = √5 / 2
(2) 由上问得到的结果，不妨再设：
a = 2m b = m c = √5m 这里m等于某一非零常数
因此双曲线方程可以写成：
x^2/4m^2 - y^2/m^2 = 1，再将直线AB的方程代入该式，经整理有：
15x^2 - 32√5x + 84m^2 = 0
x1 + x2 = m(32√5)/15 x1x2 = 84m/15
由于双曲线的弦长公式为：|x1 - x2|√(1 + k^2)
|x1 - x2| = √[(x1 + x2)^2 - 4x1x2]
将两根之和与两根之积的结果代入上式，得到：
弦长 = 4 = (4/3)m，m = 3
故双曲线方程为：x^2/36 - y^2/9 = 1

Answer 2

(1)令|OA|=m,|OB|=n,|AB|=p,双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1
易知准线方程：y=bx/a或y=-bx/a，tan∠AOF=tan∠BOF=b/a
由题意：2p=m+n
m^2+p^2=n^2
所以 p/m=4/3
即 tan∠AOB=4/3
令 b/a=k
则 2k/(1-k^2)=4/3
k=1/2
即 b/a=1/2
所以c=√5*a/2,即离心率e=√5/2
(2)由题意：双曲线方程x^2/(4b^2)-y^2/b^2=1,F(√5b,0)
因为直线OA与AB垂直
所以 Kab=-2
所以直线AB方程：y=-2(x-√5b)
联立方程组消元得：
15x^2-32√5*bx+84b^2=0
令交点C(x1,y1),D(x2,y2)
x1+x2=32√5*b/15
x1x2=28b^2/5
|CD|=√5*|x1-x2|=√5*√[(x1+x2)^2-4x1x2]=4b/3=4
即 b=3
所以双曲线的方程x^2/36-y^2/9=1