Question

已知函数f（x）=x的3次方-3ax-1，a=0 若f（x）在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图像有三个不同的交

已知函数f（x）=x的3次方-3ax-1，a=0 （1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围
应该是a不等于0

Answer 1

(1.)对原函数进行求导，的f(x)'=3x^2-3a,当a<0时，可知导数恒大于零，即原函数恒增。当a>0时，令f(x)'=0，得3x^2-3a=0,即x^2=a,通过图像判断可知，当x>根号a或小于负根号a时，导数小于零，当x>负根号a且x<根号a时，导数大于零。因此，a<0时，函数在R上为增函数；a>0时，在[负根号a,根号a]，函数为增函数，在(-无穷,负根号a）U（根号a,正无穷),函数为减函数。

(2.)若f(x)在x=-1处取得极值，则x=-1时，原函数的导数等于0，所以有a=1,此时原函数为f(x)=x^3-3x-1，对f(x)求导，得f(x)'=3x^2-3,令f(x)'=0，得x=正负1，即原函数的两个拐点为正负1，x=-1时，f(x)=1,x=1时,f(x)=-已知函数f（x）=x³-3ax-1，a≠0
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围。
解：（1）f(x)=x³-3ax-1的定义域为（-∞,+∞).
f′(x)=3x²-3a,当a<0时，f′(x)=3x²+│a│,对任何x都大于0，此时在全部定义域内都是增函数。
当a>0时，令f′(x)=3(x²-a)=0,此时函数有两个驻点：x=±√a.
f〃(x)=6x, 故f〃(-√a)=-6√a<0,∴x=-√a.是极大点，故在（-∞，-√a.)内单调增。
f〃(√a)=6√a.>0,∴x=√a.是极小点，故在（-√a., √a.)内单调减，在（√a.，+∞)内单调增。
函数f(x)在x=-√a.时取得极大值f(-√a.)= -a^(3/2)+3a^(3/2)-1=2a^(3/2)-1
在x=√a.时取得极小值f(√a.)=a^(3/2)-3a^(3/2)-1=-2a^(3/2)-1
故要使在a>0时直线y=m与f(x)的图像有三个交点，必须-2a^(3/2)-1<m<2a^(3/2)-1 3，根据图像可知，若y=m与原函数图像有3个不同的交点，则m应大于-3且m小于1.

Answer 2

(1)f(x)=x^3-3ax-1，a!=0，令f(x)的导数f(x)'=3x^2-3a=0则x=sqr(a)或-sqr(a) (*sqr表示平方根*)
则f(x)的极值必在x=sqr(a)或-sqr(a)处取得，且a>0
因此f（x）的单调区间：（负无穷，-sqr(a)）单调增；
（-sqr(a)，sqr(a)）单调减；
（sqr(a)，正无穷）单调增。
(2)根据（1）分析，令sqr(a)或-sqr(a)=-1，则a=1 所以m应是处于f(x)=x^3-3x-1两个拐点纵坐标数值间。而f(x)=x^3-3x-1两个拐点横坐标分别为1和-1。
当x=-1时，拐点y1=1；当x=1时，拐点y2=-1
所以 -1<=m<=1

Answer 3

f`(x)=3x^2-3a 当f`(x)=0 时 x=a x=-a
f（x）的单调区间：(负无穷大，-|a|)， （-|a|，|a|)，（|a|，无穷大）
（2）若f（x）在x=-1处取得极值，必在x=1时也取得极值。所以m的取值范围是（-1，1）

Answer 4

sda