Question

二次函数，数学高手进

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<1/a,当x∈(0,x1)时,求证：x<f(x)<x1

Answer 1

kdshuo ，你好：

证明：构造函数g（x）＝f（x）－x＝a（x－x1）（x－x2）
0＜x1＜x2＜1/ax∈（0，x1）
a＞0（x－x1）（x－x2）＞0
g（x）＞0
要证明f（x）＜x1即证f（x）－x＋x－x1＜0
即a（x－x1）（x－x2）＋（x－x1）＜0
（x－x1）（ax－ax2＋1）＜0
∵0＜x1＜x2＜1/ax∈（0，x1）
∴（x－x1）（ax－ax2＋1）＜0成立
∴x＜f（x）＜x1