Question

已知二次函数y=(m^2-2)x^2-4mx+n,图象对称轴为x=2,且它的最高点为y=1/2x+1上。若此抛物线形状和开口方向不

（续上）顶点在y=1/2x+1上移动，A、B为抛物线与x轴两交点，是否存在顶点M使得角AMB=90°，请求出M点坐标，若不存在请说明理由。
已知二次函数y=(m^2-2)x^2-4mx+n,图象对称轴为x=2,且它的最高点为y=1/2x+1上。若此抛物线形状和开口方向不变，顶点在y=1/2x+1上移动，A、B为抛物线与x轴两交点，是否存在顶点M使得角AMB=90°，请求出M点坐标，若不存在请说明理由。

Answer 1

出题的时候请考虑一下函数的写法，题中的y=1/2x+1容易产生歧义，我的理解是y=x/2+1, 不然就变成y=1+0.5/x,这个我怀疑就不是出题者的本意了吧。
言归正传，从题中条件可易知
二次函数开口向下，即m^2-2＜0 即m^2＜2 ┈①
二次函数y对称轴是x=2即函数在x=2时取得最高值 ┈②
对二次函数表达式进行配方得y=(m^2-2)[x-2m/(m^2-2)] ^2+[n-4m^2/(m^2-2)] ┈③
因为m^2-2＜0，所以上式取得最大值的条件是x-2m/(m^2-2)=0，而且x=2，计算得到m= -1，（另外一个解m=2 不符合m^2-2＜0的条件）
所以函数可化简为y=-x^2+4x+n
从③式还可知，二次函数y的最大值=n-4m^2/(m^2-2)=n+4
因为最高点落在y=1/2x+1上，而且最高点横坐标x=2，所以最高点y=2=n+4，所以解得n= -2.
所以函数可化简为y= -x^2+4x-2= -(x-2)^2+2

是否存在顶点M使得角AMB=90°的条件可以转化为是否存在AB=2MN，其中MN就是二次函数的最大值。
假设M点在移动过程中横坐标为a，则有y=-(x-a)^2+1/2a+1, 最大值为1/2a+1=MN。
解方程y=-(x-a)^2+1/2a+1=0， 得到A，B=a±√(1+a/2), 所以AB=2√(1+a/2)；
解方程AB=2MN， 即2√(1+a/2)=1/2a+1， 解得 a=6 （a= -2 则AB=MN=0不符合条件，故舍去）
这样我们就求得了满足条件的顶点M的坐标为（6，4）。