Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD垂直于底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC ∥ AB，∠BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD垂直于底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC ∥ AB，∠BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4，E为PA的中点．（1）如图，若正视方向与AD平行，请在下面（答题区）方框内作出该几何体的正视图并求出正视图面积；（2）证明：DE ∥ 平面PBC；（3）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

解（1）正视图如下：（没标数据扣1分）…（3分） 主视图面积 S= 1 2 ×4×2=4c m 2 …（5分） （2）设PB的中点为F，连接EF，CF…（6分） ∵E，F分别是PA，PB的中点 ∴EF ∥ AB 又DC ∥ AB∴EF ∥ DC 且 EF=DC= 1 2 AB …（8分） 故四边形CDEF是平行四边形， 即可得ED ∥ CF，（9分） 又ED?平面PBC，CF?平面， ∴ED ∥ 平面PBC（10分） （3）∵PD⊥底面ABCD，∴PD=2是四棱锥P-ABCD的高（11分） ∵AB=4，DC=2，AD=2 ∴直角梯形ABCD的面积是 S 底 = 1 2 AD?(AB+DC)= 1 2 ×2×(2+4)=6 （cm 2 ）（13分） ∴四棱锥P-ABCD的体积是 V= 1 3 S 底 ?PD= 1 3 ×6×2=4 &(c m 3 ) （14分）