Question

已知双曲线与椭圆x29+y225=1有公共焦点F1，F2，它们的离心率之和为245．（1）求双曲线的标准方程；（2）

已知双曲线与椭圆x29+y225=1有公共焦点F1，F2，它们的离心率之和为245．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cos∠F1PF2．

Answer 1

（1）椭圆

x2

9

+

y2

25

=1的焦点为（0，±4），离心率为e=

4

5

．
∵双曲线与椭圆的离心率之和为2

4

5

，
∴双曲线的离心率为2，
∴

c

a

=2
∵双曲线与椭圆

x2

9

+

y2

25

=1有公共焦点F₁，F₂，
∴c=4，
∴a=2，b=

12

，
∴双曲线的方程是

y2

4

?

x2

12

＝1；
（2）由题意，|PF₁|+|PF₂|=10，|PF₁|-|PF₂|=4
∴|PF₁|=7，|PF₂|=3，
∵|F₁F₂|=8，
∴cos∠F₁PF₂=

72+32?82

2?7?3

=-

1

7

．