Question

如图，已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥A-BCD．（1）求证：

如图，已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥A-BCD．（1）求证：面AOC⊥面BCD；（2）若∠AOC=60°，求三棱锥A-BCD的体积．

Answer 1

（1）证明：因为AC、BD是正方形
ABCD的对角线，所以AC⊥BD．
故在折叠后的△ABD和△BCD中，有
BD⊥AO，BD⊥CO．
又AO∩CO=O，所以BD⊥平面AOC．
因为BD?平面BCD，所以平面AOC⊥
平面BCD．
（2）∵BD⊥AO，BD⊥CO．
又AO∩CO=O，所以BD⊥平面AOC．
∵∠AOC=60°，正方形ABCD的边长为2
∴S_△ACO=

3

4

×（

2

）²=

3

2

，OD=

2

，
∴V_A-BCD=2V_D-ACO=2×

1

3

×

3

2

×

2

=

6

3

，
故棱锥A-BCD的体积为：

6

3

．