Question

在平面直角坐标系xOy中（如图），已知二次函数y=x 2 +bx+c的图象经过点A（0，3）和点B（3，0），其顶点记

在平面直角坐标系xOy中（如图），已知二次函数y=x 2 +bx+c的图象经过点A（0，3）和点B（3，0），其顶点记为点C．（1）确定此二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；（2）将直线CB向上平移3个单位长度，求平移后直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，能否在直线上l找一点D，使得以点C、B、D、O为顶点的四边形是等腰梯形．若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）把A（0，3）和B（3，0），代入y=x 2 +bx+c， 得： c=3 9+3b+c=0 ， 解得： b=-4 c=3 ， 所以，所求二次函数的解析式为：y=x 2 -4x+3 所以，顶点C的坐标为（2，-1） （2）由待定系数法可求得直线BC的解析式为：y=x-3， 所以，直线l的解析式为：y=x （3）能． 由直线l ∥ BC，即OD ∥ BC，可知： 若四边形CBDO为等腰梯形，则只能BD=CO，且BC≠DO ∵点D为直线l：y=x上的一点 ∴设D（x，x），则可得： (3-x) 2 + (0-x) 2 = (2-0) 2 + (-1-0) 2 ① 解得：x 1 =1，x 2 =2经检验，x 1 =1，x 2 =2都是方程①的根 ∴D（1，1）或D（2，2） 但当取D（1，1）时，四边形CBDO为平行四边形，不合题意，舍去 若四边形CBOD为等腰梯形，则只能BO=CD，且BC≠DO 同理可得：D（-1，-1）或D（2，2） 但当取D（-1，-1）时，四边形CBOD为平行四边形，不合题意，舍去 故所求的点D的坐标为（2，2）．