Question

已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的半焦距为C，（C＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=158（a+c）x与椭

已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的半焦距为C，（C＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=158（a+c）x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是______．

Answer 1

∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，
∴A（a，0），F（-c，0）
∵抛物线y²=

15

8

（a+c）x与椭圆交于B，C两点，
∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，-n）
∵四边形ABFC是菱形，∴m=

1

2

（a-c）
将B（m，n）代入抛物线方程，得
n²=

15

8

（a+c）（a-c）=

15

16

b²
∴B（

1

2

（a-c），

15

4

b），再代入椭圆方程，得

[ 1 2 (a?c)]2

a2

+

( 15 4 b)2

b2

＝1
化简整理，得4e²-8e+3=0，解之得e=

1

2

（e=

3

2

＞1不符合题意，舍去）
故答案为：

1

2

．