Question

如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC=2cm，现有两点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA

如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC=2cm，现有两点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，点F沿折线A-D-C以2cm/s的速度向点C运动，设点E离开点B的时间为t（秒）．（1）当t为何值时，线段EF与BC平行？（2）设1＜t＜2，当t为何值时，EF与半圆相切？（3）1≤t＜2时，设EF与AC相交于点P，问点E、F运动时，点P的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP：PC的值．

Answer 1

解答：解：（1）设E、F出发后运动了t秒时，有EF∥BC（如图1）则
BE=t，CF=4-2t，即有t=4-2t，t=

4

3

；
∴当t为

4

3

秒时，线段EF与BC平行．

（2）设E、F出发后运动了t秒时，EF与半圆相切（如图2），过F点作KF∥BC交AB于K，
则BE=t，CF=4-2t，EK=t-（4-2t）=3t-4，
EF=EB+FC=t+（4-2t）=4-t．
又∵EF²=EK²+FK²，
∴（4-t）²=（3t-4）²+2²．
即2t²-4 t+1=0，解得t=

2± 2

2

，
∵1＜t＜2，∴t=

2+ 2

2

；
∴当t为

2+ 2

2

秒时，EF与半圆相切，（8分）

（3）当1≤t＜2时，E、F出发后运动了t秒时，EF位置如图3所示，则
BE=t，AE=2-t，CF=4-2t，
∴

AE

FC

=

2-t

4-2t

=

1

2

，
又∵AB∥DC，
∴△AEP∽△CFP．
∴

AP

PC

=

AE

FC

=

1

2

；
即点P位置与t的取值无关．
∴当1≤t＜2时，点P的位置不会发生变化，且AP：PC的值为

1

2

．（12分）